Чтобы рассмотреть эволюцию произвольного поля E(x,t=0) во времени, необходимо разложить его в ряд Фурье.

Каждая пространственная гармоника E_k будет зависеть от времени гармонически с частотой ω, зависящей от k: . Взяв обратное преобразование Фурье, получим зависимость поля от времени

Удобно провести разложение функции ω(k) в ряд Тейлора вблизи некоторой характерной пространственной частоты поля k₀

В этом разложении ω₀=ω(k₀) – несущая частота сигнала, – его фазовая скорость, – групповая скорость волнового пакета, – параметр, связанный со скорость расплывания пакета. Дальнейшие члены разложения не имеют специального названия и вызывают более сложные искажения волнового пакета.

В качестве поля E может выступать, например, поле смещений элемента жидкости при рассмотрении волн на поверхности жидкости, нас же интересует, в основном, движение пакетов электромагнитных волн в среде.

Разложения в ряд Тейлора зависимости w(k) для реальных диэлектриков не может быть произвольным. Принцип причинности накладывает дополнительное требование на диэлектрическую проницаемость среды. Это требование заключается в связи действительной и мнимой части ε(ω) (соотношения Крамерса-Кронига)

Мнимая часть диэлектрической проницаемости отвечает поглощению энергии поля и выделению джоулевого тепла с объемной плотностью мощности

Следовательно, среда прозрачна для электромагнитных волн при тех частотах, где Im(ε(ω)) достаточно мало. Однако, из соотношений Крамерса-Кронига следует, что единственной средой, не поглощающей ни при каких частотах, является вакуум. (Подстановка Im(ε(ω))=0 дает Re(ε(ω))=1). Таким образом, дисперсия действительной части диэлектрической проницаемости приводит, одновременно, к поглощению волн.

Если рассмотреть среду, у которой Im(ε(ω))=0 в диапазоне ω_min < ω < ω_max, то в этой области

,

где а и b – положительные постоянные.

Зная зависимость диэлектрической проницаемости от частоты, можно найти w(k) из соотношения

Для прозрачных сред получим

Нужно заметить, что формально такой же закон дисперсии получается для волн в волноводе прямоугольного сечения, хотя его физическая сущность там другая.

В этом примере Вы можете задать любую зависимость w(k), однако далеко не любая зависимость будет соответствовать физически допустимому закону дисперсии ε(ω).

Литература:

1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, т.8, Электродинамика сплошных сред, стр. 367-397 (1982).